Limiti e derivate

Il limite descrive il comportamento di una funzione f(x) quando la variabile x si avvicina a un valore x₀, senza necessariamente raggiungerlo. La domanda è: «verso quale numero si stabilizza f(x) man mano che x si avvicina a x₀?»

L'aspetto sorprendente è che il punto x₀ può anche non appartenere al dominio: il limite guarda i valori vicini a x₀, non il valore in x₀. Consideriamo f(x) = (x² − 1)/(x − 1), non definita in x = 1:

Avvicinando x a 1 da entrambe le parti, f(x) si avvicina a 2. Scriviamo:

Per dare rigore all'idea «f(x) si avvicina a L» si usa il linguaggio degli intorni. Si dice che f ha limite L per x che tende a x₀:

quando, fissato un margine di errore ε > 0 piccolo a piacere attorno a L, è possibile trovare un intorno di x₀ (un raggio δ > 0) tale che tutti i valori di x in quell'intorno (tranne al più x₀) abbiano immagine entro il margine:

In parole: «per quanto stretta sia la fascia orizzontale L ± ε, esiste una fascia verticale x₀ ± δ entro cui il grafico resta dentro la fascia orizzontale».

Possiamo avvicinarci a x₀ da due lati:

• limite sinistro: x → x₀⁻ (valori più piccoli di x₀);
• limite destro: x → x₀⁺ (valori più grandi di x₀).

Se i due limiti laterali sono diversi, il limite non esiste: la funzione «salta» in x₀. È il caso, ad esempio, di f(x) = |x| / x in x = 0, che vale −1 a sinistra e +1 a destra.

Il valore x₀ e il limite L possono essere finiti oppure infiniti. Si hanno quattro combinazioni.

Limite infinito (al finito)

Se avvicinandosi a x₀ la funzione cresce o decresce illimitatamente, il limite è ±∞: la retta x = x₀ è un asintoto verticale.

Limite all'infinito

Possiamo chiederci cosa accade quando x diventa molto grande (x → +∞) o molto piccolo (x → −∞). Se la funzione si stabilizza su un valore L, la retta y = L è un asintoto orizzontale.

Se f e g hanno limite finito per x → x₀, allora il limite si «distribuisce» sulle operazioni:

In pratica, quando la funzione è «buona» (continua) nel punto, il limite si calcola semplicemente sostituendo x₀:

Trattando ∞ come «quantità illimitatamente grande», molte operazioni hanno esito certo (forme determinate):

In alcuni casi la sola struttura non basta a decidere il risultato: il limite «dipende dai dettagli». Sono le forme indeterminate (o di indecisione):

Una forma indeterminata non significa «il limite non esiste»: significa che bisogna lavorare l'espressione (trasformarla in una forma equivalente) per scoprire il risultato, che può essere un numero, infinito, oppure non esistere.

Forma 0/0 con polinomi — scomposizione

Se numeratore e denominatore si annullano in x₀, allora (x − x₀) è fattore comune: si scompone e si semplifica.

Forma ∞/∞ con polinomi — confronto dei gradi

Si raccoglie la potenza di grado massimo; conta solo il confronto fra i gradi:

Forma ∞ − ∞ e 0 · ∞

Si raccoglie il termine dominante, oppure si razionalizza (con le radici); la forma 0 · ∞ si riscrive come 0/0 o ∞/∞.

Alcuni limiti fondamentali risolvono forme 0/0 o 1^∞ e vanno conosciuti a memoria:

Una funzione f è continua nel punto x₀ quando il limite esiste finito e coincide con il valore della funzione:

Devono valere tre condizioni contemporaneamente:

1. f(x₀) esiste (cioè x₀ appartiene al dominio);
2. esiste finito lim_x→x₀ f(x) (limiti laterali uguali);
3. i due valori coincidono.

Una funzione è continua in un intervallo se lo è in ogni suo punto. Intuitivamente: il grafico si traccia senza staccare la penna dal foglio.

Dove la continuità si rompe, si classifica il punto in tre specie.

Prima specie — salto

I limiti laterali esistono finiti ma diversi: la funzione «salta». L'ampiezza del salto è |ℓ₂ − ℓ₁|.

Seconda specie

Almeno uno dei limiti laterali è infinito oppure non esiste (per esempio per oscillazione). È il caso tipico degli asintoti verticali.

Terza specie — eliminabile

Il limite esiste finito, ma la funzione in x₀ non è definita oppure vale un numero diverso: un «buco» nel grafico. Si «ripara» ridefinendo f(x₀) uguale al limite.

La retta x = x₀ è un asintoto verticale se almeno un limite laterale è infinito:

Per le funzioni razionali si cercano tra i valori che annullano il denominatore (ma non il numeratore: se annullano entrambi, può essere una discontinuità eliminabile). Esempio: f(x) = 1/(x − 1) ha asintoto verticale x = 1, con −∞ a sinistra e +∞ a destra.

Orizzontale

Se per x → ±∞ la funzione tende a un valore finito L, la retta y = L è un asintoto orizzontale.

Obliquo

Se non c'è asintoto orizzontale (la funzione diverge) ma il grafico si avvicina a una retta y = mx + q, questa è un asintoto obliquo. Si trovano i due coefficienti con i limiti:

Data una funzione e un punto P = (x₀, f(x₀)), vogliamo la pendenza della retta tangente al grafico in P. Partiamo da un secondo punto Q = (x₀ + h, f(x₀ + h)) e tracciamo la secante PQ. La sua pendenza è il rapporto incrementale:

Esso misura la variazione media di f tra x₀ e x₀ + h. L'idea geniale: facciamo scivolare Q verso P (cioè h → 0) e guardiamo verso quale pendenza tende la secante.

La derivata di f in x₀ è il limite del rapporto incrementale per h → 0, quando esiste finito:

È una forma 0/0 (numeratore e denominatore tendono entrambi a 0): la derivata è proprio il numero che questa forma indeterminata nasconde. Si indica in più modi:

Esempio con f(x) = x² in x₀:

Quando h → 0 il punto Q si fonde con P e la secante diventa la tangente. Perciò:

L'equazione della retta tangente in P = (x₀, f(x₀)) è quindi:

• f '(x₀) > 0: tangente in salita, funzione crescente;
• f '(x₀) < 0: tangente in discesa, funzione decrescente;
• f '(x₀) = 0: tangente orizzontale (possibile massimo o minimo).

Una funzione continua può non essere derivabile: la tangente potrebbe non essere unica o essere verticale. I punti di non derivabilità sono:

• punto angoloso: derivate laterali finite ma diverse (es. |x| in 0: −1 a sinistra, +1 a destra);
• cuspide: derivate laterali infinite di segno opposto (+∞ e −∞);
• flesso a tangente verticale: derivate laterali entrambe infinite con lo stesso segno.

Il rapporto incrementale è una variazione media; la derivata è la variazione istantanea. In fisica, se s(t) è la posizione nel tempo:

Più in generale la derivata è il tasso di variazione di una grandezza rispetto a un'altra: velocità di una reazione, ritmo di crescita di una popolazione, costo marginale in economia. Ovunque qualcosa cambia, la derivata ne misura la rapidità.

Calcolate una volta per tutte con la definizione, si usano come «mattoni»:

La derivata «entra» nelle somme e rispetta i fattori costanti:

Quindi un polinomio si deriva termine a termine:

La derivata di una costante è 0: il termine noto «sparisce» sempre.

La derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate:

«derivata del primo per il secondo, più il primo per la derivata del secondo». Esempio con x²·sin x:

Per il rapporto di due funzioni:

«derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso il denominatore al quadrato». Esempio:

Per una funzione «dentro l'altra» y = f(g(x)) si deriva «da fuori verso dentro», moltiplicando per la derivata interna:

È lo strumento più potente. Esempi:

Derivando ancora la derivata si ottengono le derivate successive, utili nello studio di funzione e in fisica:

Esempio con f(x) = x⁴: f ' = 4x³, f '' = 12x², f ''' = 24x. La derivata seconda f '' governa la concavità.

Poiché f '(x) è la pendenza della tangente, il suo segno dice se la funzione sale o scende:

Nei punti dove f ' si annulla e cambia segno si hanno gli estremi relativi (teorema di Fermat: in un estremo interno f ' = 0):

• massimo relativo: f ' passa da + a − (sale poi scende);
• minimo relativo: f ' passa da − a + (scende poi sale).

In alternativa si usa la derivata seconda nel punto stazionario x₀ (dove f '(x₀)=0):

La derivata seconda f '' misura come cambia la pendenza, cioè la concavità:

Un punto di flesso è dove la concavità cambia: lì f '' si annulla cambiando segno.

Per disegnare il grafico di una funzione si seguono, nell'ordine, questi passi:

1. Dominio e eventuali simmetrie (pari/dispari);
2. Intersezioni con gli assi e segno di f;
3. Limiti agli estremi del dominio e asintoti;
4. Derivata prima: monotonia, massimi e minimi;
5. Derivata seconda: concavità e flessi;
6. si raccolgono i dati e si traccia il grafico.

Molti problemi reali chiedono di rendere massima o minima una grandezza: area, volume, costo, percorso. Lo schema è sempre lo stesso:

1. esprimi la grandezza da ottimizzare come funzione di una variabile;
2. individua il dominio (vincoli del problema);
3. poni f '(x) = 0 e trova i punti stazionari;
4. verifica con il segno di f ' (o di f '') che sia il massimo/minimo cercato.

Esempio classico: tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato ha area massima — e lo si dimostra annullando la derivata della funzione area.